Quand l'IA Réécrit les Mathématiques : La Plus Grande Mutation de l'Histoire
🎙️ Podcast : Écouter (15 min)
En mars 2025, Daniel Litt, mathématicien à l'Université de Toronto, a fait un pari. Malgré les progrès de l'intelligence artificielle dans de nombreux domaines, il croyait sa discipline safe. Il pariait avec un collègue qu'il n'y avait que 25% de chances qu'une IA puisse écrire un article mathématique au niveau des meilleurs mathématiciens humains d'ici 2030. Un an plus tard, il pense qu'il avait tort. Je m'attends maintenant à perdre ce pari, a-t-il déclaré sur son blog.
Les mathématiciens ont été pris de court par la vitesse des améliorations de l'IA dans la résolution de problèmes et la production de preuves. Il y a seulement deux ans, elles étaient fondamentalement inutiles même pour résoudre des problèmes de mathématiques du lycée, et maintenant elles peuvent parfois résoudre des problèmes qui apparaissent vraiment dans la vie de recherche d'un mathématicien, explique Litt. Ces progrès sont plus rapides que beaucoup ne l'avaient prédit, si rapides que des mathématiciens avertissent que leur profession subit l'une des évolutions les plus rapides que le domaine ait jamais connues. Nous manquons de places où nous cacher, a écrit Jeremy Avigad de l'Université Carnegie Mellon dans un récent essai. Nous devons affronter le fait que l'IA sera bientôt capable de prouver des théorèmes mieux que nous.
Ce n'est pas un événement unique qui provoque ces réactions, mais les progrès mathématiques constants que démontrent les IA. L'année dernière, des entreprises comme OpenAI et Google DeepMind ont obtenu des performances de médaille d'or à l'Olympiade Internationale de Mathématiques, une compétition d'élite pour les lycéens que beaucoup d'experts avaient précédemment rejetée comme étant au-delà des capacités des outils d'IA. En janvier, des mathématiciens ont commencé à utiliser des outils similaires pour résoudre des problèmes de longue date posés par le mathématicien hongrois Paul Erdős.
Maintenant, dans deux développements séparés, l'IA a commencé à s'attaquer à des mathématiques plus complexes, résolvant de vrais problèmes de recherche et aidant à vérifier automatiquement des preuves de pointe, ce qui pourrait traditionnellement demander énormément de travail de la part d'équipes de mathématiciens.
En février, Nikhil Srivastava de l'Université de Californie à Berkeley et ses collègues ont lancé le projet First Proof dans une tentative de trouver un benchmark plus réaliste pour tester l'aptitude mathématique de l'IA. La première série du projet consistait en 10 problèmes que les chercheurs avaient dû résoudre dans le cadre de leur travail, issus de domaines mathématiques très différents. C'étaient des problèmes naturellement rencontrés dans nos recherches quotidiennes, dit Srivastava. Ils sont tirés d'une distribution typique de difficulté. Ils n'étaient pas super durs, mais ils n'étaient pas non plus triviaux. Il y avait vraiment une gamme.
Après que les problèmes ont été rendus publics, les solutions ont commencé à affluer. Des chercheurs d'entreprises technologiques, y compris OpenAI et Google DeepMind, faisaient partie de ceux qui ont tenté de résoudre les problèmes First Proof avec leurs propres modèles d'IA. OpenAI affirme avoir répondu correctement à la moitié des problèmes, selon les retours d'experts, tandis que Google DeepMind a obtenu un score de 6 sur 10, selon les mathématiciens qu'il a consultés pour chaque problème. Les choses ont tellement changé si vite, dit Thang Luong de Google DeepMind. Pour nous, maintenant l'IA est vraiment devenue un collaborateur sérieux, soit pour produire un travail de recherche sérieux, soit, dans le cas de First Proof, elle peut aussi proposer une solution par elle-même.
L'outil mathématique IA de Google, appelé Aletheia, utilise une version intensivement computationnelle de son chatbot Gemini IA, couplé à un algorithme de vérification pour rechercher des failles dans les solutions possibles. Il peut ensuite produire itérativement des améliorations par lui-même jusqu'à ce qu'il parvienne à une réponse. Google n'a pas publiquement divulgué combien d'itérations Aletheia a nécessaires pour résoudre ces problèmes, ce qui rend difficile d'évaluer exactement à quel point il est bon, mais les mathématiciens sont toujours impressionnés.
Tous les problèmes n'ont pas fait l'objet d'un consensus unanime sur leur résolution. Pour le problème 8, qui se trouve dans un domaine de niche de la géométrie, seulement cinq des sept experts que Google a interrogés ont convenu que la solution proposée était correcte. Ivan Smith de l'Université de Cambridge, qui n'a pas participé à l'effort de Google, dit que l'IA semble adopter une approche raisonnable de ce problème et montre de bons progrès. Si c'était un doctorant qui revenait avec ses réflexions, ce serait encourageant et cela renforcerait la confiance que le résultat était vraiment vrai, dit Smith.
Cela met en lumière un problème avec les preuves générées par IA : les vérifier est un travail difficile. Il serait facile de se retrouver dans une situation où l'IA peut générer des preuves plus vite que les humains ne peuvent les vérifier. Si un théorème est prouvé par une IA, mais que personne n'est là pour le vérifier, a-t-il été prouvé ? L'IA peut aussi aider ici.
La technologie s'améliore rapidement pour traduire les preuves manuscrites en langage naturel, comme les problèmes posés dans First Proof, dans un format qui peut être vérifié par un ordinateur, un processus appelé formalisation. L'entreprise d'IA Math, Inc. a récemment surpris les mathématiciens en annonçant que son outil IA, appelé Gauss, avait formalisé une preuve primée et vérifié qu'elle était correcte. La preuve concernait le nombre de sphères pouvant être emballées dans un espace et était l'objet de la médaille Fields 2022 de Maryna Viazovska, souvent appelée le prix Nobel des mathématiques.
L'effort pour formaliser le travail de Viazovska a commencé avec un petit groupe de mathématiciens fin 2024, travaillant séparément de Math, Inc, dirigé par Sidharth Hariharan de l'Université Carnegie Mellon, qui espérait traduire manuellement le problème en code informatique. Ils ont d'abord examiné la solution de Viazovska pour l'empilement de sphères en huit dimensions. Alors qu'ils progressaient régulièrement, Math, Inc., qui avait plus tard fourni une assistance aux chercheurs, a annoncé qu'elle avait déjà une preuve complète, puis une version plus générale d'un résultat pour 24 dimensions.
Hariharan et ses collègues avaient initialement esquissé un plan de la façon de formaliser le travail, ainsi que de proposer d'importantes définitions mathématiques. Sans cela, l'IA n'aurait pas pu compléter ses preuves, dit Bhavik Mehta de l'Imperial College de Londres, qui a travaillé sur la formalisation avec Hariharan. Nous avions fait toutes les pièces, mais nous n'avions pas écrit le manuel d'instructions qui explique comment les assembler, dit Chris Birkbeck de l'Université d'East Anglia, qui faisait également partie de l'équipe.
La preuve finale représentait environ 200 000 lignes de code, ce qui constitue environ 10% de toutes les mathématiques formalisées existantes. Bien qu'il soit probable que ce code soit environ dix fois plus long qu'un humain aurait produit pour faire la même tâche, c'est toujours un énorme accomplissement, dit Johan Commelin de l'Université d'Utrecht aux Pays-Bas. C'est une grande affaire. C'est un travail lauréat de la médaille Fields, et il est en cours d'auto-formalisation.
Des efforts similaires devraient maintenant être possibles pour un grand nombre d'autres domaines, dit Commelin, ce qui pourrait transformer la manière dont les mathématiques sont pratiquées. Le futur auquel nous pensons tous est que nous aurons des outils qui formaliseront automatiquement les nouvelles recherches et articles mathématiques, et signaleront s'il y a des erreurs ou non, dit Commelin. Cela aura d'énormes implications pour, disons, l'examen par les pairs et le travail d'arbitrage.
Face à un avenir où une part croissante des mathématiques est faite par l'IA, certains mathématiciens, comme Avigad, sonnent l'alarme sur les effets néfastes que cela pourrait avoir sur notre capacité à pratiquer et à proposer de nouvelles mathématiques. Utiliser des machines pour résoudre les types de problèmes posés dans First Proof peut produire des preuves concrètes, dit Anna Marie Bohmann de l'Université Vanderbilt, mais nous perdons l'opportunité d'apprentissage. La lutte pour créer et formuler de nouvelles idées et résoudre de nouveaux problèmes est l'un des principaux moyens par lesquels les étudiants et les professionnels des mathématiques consolident leurs connaissances.
Tony Feng, membre de l'équipe Aletheia de Google DeepMind, ressent la même chose et est prudent dans l'utilisation de l'outil pour lui-même. Beaucoup de fois, je sens que je devrais faire mes devoirs moi-même et passer par le processus de construction de ma propre intuition. Même formaliser des preuves peut générer des informations importantes, dit Mehta, et lui et ses collègues devront maintenant démêler la preuve IA de 200 000 lignes pour comprendre ce qui pourrait être utile pour d'autres projets.
Mais les mathématiciens sont toujours enthousiastes à propos de l'avenir. Nous pensons que dans quelques années, il y aura beaucoup plus d'exemples comme celui-ci, dit Mehta. Les mathématiciens humains ne seront pas remplacés, mais ils travailleront en tandem avec ces outils IA. Les mathématiciens deviendront des sortes d'architectes qui conçoivent la structure d'une preuve, et l'IA sera le maçon qui construit la structure.
Ce qui se passe dans les mathématiques aujourd'hui dépasse la simple automatisation. C'est une mutation dans la nature même de ce que signifie faire des mathématiques. Pendant des siècles, les mathématiciens ont travaillé seuls ou en petits groupes, développant des intuitions, conjecturant des théorèmes, et construisant des preuves ligne par ligne. La formalisation, longtemps considérée comme un exercice de vérification fastidieux, devient soudainement une partie centrale du processus de découverte. L'IA ne se contente pas de calculer plus vite : elle change la manière dont les mathématiciens pensent.
Daniel Litt, qui pensait que son domaine était safe, a dû reconsidérer. Il ne s'agit plus de savoir si l'IA remplacera les mathématiciens, mais comment la pratique des mathématiques va se transformer. La distinction entre formuler une conjecture, construire une preuve, et vérifier sa validité, qui était toujours claire, devient floue. Quand l'IA peut générer une preuve que personne ne comprend complètement, qu'avons-nous gagné ? Qu'avons-nous perdu ?
Maryna Viazovska, dont le travail de médaille Fields a été formalisé par l'IA, représente une transition. Sa preuve humaine élégante pour l'empilement de sphères en huit et 24 dimensions est devenue la base d'une preuve informatique massive de 200 000 lignes. L'élégance humaine rencontre la rigueur algorithmique. C'est peut-être cela l'avenir des mathématiques : une symbiose où l'intuition humaine guide la puissance computationnelle, et où la vérification informatique garantit ce que l'esprit humain ne peut plus assumer seul.
Les mathématiciens ne sont pas uniquement inquiets. Beaucoup voient dans cette mutation une opportunité de repousser les frontières de ce qui est prouvable. Des problèmes qui étaient auparavant hors de portée deviennent accessibles. Des domaines entiers des mathématiques qui étaient restés fragmentés peuvent maintenant être connectés à travers des formalisations massives. La bibliothèque des mathématiques formalisées, qui ne représentait que 10% des connaissances humaines, pourrait croître de manière exponentielle.
Mais les questions philosophiques restent. Si une preuve est générée par l'IA mais que personne ne la comprend, est-ce vraiment une preuve ? Si les mathématiciens deviennent des architectes qui conçoissent des structures que des machines construisent, qu'est-ce que cela signifie pour l'intuition mathématique, ce sens profond de ce qui est vrai et beau qui a toujours guidé la découverte ? Jeremy Avigad a raison : nous devons affronter le fait que l'IA sera bientôt capable de prouver des théorèmes mieux que nous pouvons. La question n'est plus si cela arrivera, mais ce que nous allons en faire.
Les mathématiques subissent leur plus grande mutation historique, et personne ne sait exactement à quoi ressemblera l'autre côté. Ce qui est clair, c'est que l'ère du mathématicien solitaire avec un tableau noir et une craie est en train de se terminer. L'avenir sera collaboratif, computationnel, et profondément transformé par l'IA. Les mathématiciens qui prospéreront dans cet avenir ne seront pas nécessairement ceux qui calculent le mieux, mais ceux qui savent poser les bonnes questions, qui peuvent naviguer dans les preuves massives générées par l'IA, et qui gardent vivante l'intuition que les machines, pour le moment, ne possèdent pas encore.
La preuve est en cours de vérification.